المعالجة العددية المبنية على الطرق الطيفية لمسائل شبه الانتشار

Abstract

الرسالة بعنوان : " المعالجة العددية المبنية على الطرق الطيفية لمسائل شبه الانتشار " تعتبر مسألة الانتشار من المسائل المهمة في حياتنا اليومية بوجه عام ، وكذلك النماذج الرياضية لمسائل الإنتشار تظهر بها معظم الخصائص الرياضية للنماذج الواقعية مثل نماذج انتشار الحرارة والملوثات ومعظم مسائل الانتشار بوجه عام . وتبدأ دراسة نماذج الإنتشار من المسألة المعروفة بانها مسألة انتشار الحرارة والتي تاخذ في شكلها البسيط , , , والتي تمثل من وجهة نظر الرياضيات البحته الصورة القياسية لمسائل المعادلات التفاضلية الجزئية من النوع المكافئ. ولما كان حل المعادلات التفاضلية تحليلياً وحتى الصور القياسية منها من الصعوبة والتعقيد ولا يتوقف على بساطة المعادلة فقط ولكن على طبيعة الشروط الإبتدائية والحدية المصاحبة وكذلك نطاق الحل وأن أي تغيير في شكل المعادلة أو الشروط يؤدي إلى تعقيد طرق الحل وتغييرصفاته. ومع تطور أساليب الحسابات العلمية ظهر التركيز على طرق الحل العددي. ورغم تطور أجهزة الحسابات العلمية فإن ذلك لم يقدم المصداقية الكافية لكي نثق بالحلول العددية ، وظهرت كثير من الشروط التي يجب أن يحققها نموذج الحل العددي كي تتوفر المصداقية في نتائجه مثل التقارب والتوافق والإستقرار وتعتبر مسألة الإنتشار من مسائل التحليل العددي القياسية والتي تظهر فيها شروط مصداقية الحل العددي بوضوح . ولما كانت النماذج التي تحتوي على معاملات تفاضلية تمثل دراسة التاثيرات الموضعية (Local Behavior) فظهرت المعادلات التكاملية والتي تحتوي دراسة التاثيرات بوجه عام (Global Behavior) ومن ثم ظهرت النماذج التي تحتوي على معاملات تفاضلية وتكاملية في نفس الوقت (Integrodifferential Equations) وفي الفترة الاخيرة تم التعامل مع التفاضلات الكسرية لتعميم النماذج القياسية. وفي هذه الرسالة نهدف إلى التطور للوصول للنماذج التي على الصورة

حيث ان ( ) في هذه الصورة تظهر التأثيرات الموضعية من خلال المشتقات القياسية وكذلك التأثيرات العمومية من خلال المشتقات الكسرية وحدود التكامل. وتعتبر المعادلات التفاضلية الجزئية من الرتب الكسرية (FOPDE) واحدة من الموضوعات الحديثة على الرغم من أن مفاهيم حساب التفاضل والتكامل الكسري قديمة وتمتد الى بدايات التفاضل والتكامل الكلاسيكي مع ليبنز ولوبيتال. وتم التركيز على تعريفي ريمان ليوفيل (Riemann Liouville) وتعريف (Caputo) للتفاضل الكسري وكذلك إستخدام مفهوم الفروق المحدودة لتقريب التفاضلات العادية أو الكسرية والرسالة تحتوي اربعة فصول. الفصل الأول: نحاول أن نقدم في هذا الفصل التعاريف والمفاهيم الاساسية التي نحتاج إليها ونبني عليها المعالجة العددية لمسائل شبه الإنتشار التي نتعرض لها في هذه الرسالة. ونركز على تعاريف حساب التفاضل والتكامل الكسري كما نقدم مدخل لإستخدام طريقة الفروق المحدودة لحل معادلة الإنتشار والتي من خلالها نناقش خواص التوافق والإستقرار والتقارب لصيغ الفروق المحدودة وبخاصة للصيغ ذات المستويات المتعددة والتي سوف نستخدم مفاهيمها للتعامل مع تقريبات التفاضلات الكسرية. ونناقش أسس ومفاهيم إستخدام أسلوب المويجات وبشكل خاص مويجات هار (Haar Wavelet) وكيفية إستخدامها لتقريب الدوال. الفصل الثاني: تم التركيز في هذا الفصل على شروط الاستقرار لنماذج الفروق المحدودة لمعادلة الانتشار ذات الرتب الكسرية بالنسبة للزمن (TFODE) وكذلك الربط بينها والنماذج ذات المستويات المتعددة المقدمة في دراسات الصور الكلاسيكية الصريحة منها والضمنية وتم تقديم شكل شرط الإستقرار والذي يبين إعتماد شروط الإستقرار على تطور الحل في المسائل ذات الرتبة الكسرية والتي تم ربطها بالنماذج المتعددة المستويات وتم إستخدام الأسلوب المستخدم في برهنة النماذج المتعددة المستويات والذي يعتمد على تعريف متغيرات بينية جديدة لتحويل النموذج المتعدد إلى نموذج ثنائي المستوى يمكن دراستة بإستخدام مفهوم مصفوفة النمو وذلك ساعد في إثبات شروط لإستقرار . كما تم تقديم مثال عددي لتوضيح الشروط المثبتة وتم عرض النتائج والرسومات التوضيحية للحل الداعم للنتائج النظرية.